forma canonica da função do 2 grau

Trabalhar com funções do segundo grau na forma canônica, é um processo alternativo e rápido para se obter os valores do vértice: xv e yv, bem como as raízes do gráfico. Neste processo retoma-se a um procedimento que os antigos faziam constantemente, que é completar quadrados, permitindo assim, transformar a função y =   ax^2  +  bx  +  c na forma  y a * [ (x  -  xv)^2  +  yv], Quando y = 0: pode-se  calcular os valores das raízes x1 e x2, uma vez que: a * [ (x - xv)^2  +  yv ] =  a  *  [ (x -  xv  +  raiz(yv))  *  ( x - xv  -  raiz(yv) )] = 0  ==>  obtem-se   x1  e x2;. Esta forma canônica tem larga aplicação em problemas do cálculo integral, em limites, derivadas e integrais envolvendo funções do segundo grau. Da equação  y = a * (x  -  xv)^2   +   yv   chega-se a   (x  -  xv)^2   =  1/ a *(y  - yv), onde  1/ a =p logo  (x - xv)^2  =  4p*(y  -  yv)  que também é a equação da parábola em função de sua diretriz  p

Resolvendo inequação produto

INTRODUÇÃO
A resolução de inequações traz muitas dúvidas aos alunos, e a planilha   Excel  pode ajudá-lo a entender como são determinados os intervalos na resposta.
Este aplicativo foi montado com   3 exemplos de    função      produto,  o qual poderá ser para outras funções, já que os valores das raízes são abertos para trocas, e  direcionado para:
1) o aluno digitar o exemplo a ser feito
2) digitar as funções f(x), g(x), h(x) e i(x), com suas devidas raízes.
3) o programa de modo automático irá calcular num intervalo de [-10 , 10 ] as   imagens de f(x), g(x), h(x) e i(x)
4) também dará a resposta dos respectivos produtos
5) Através da função SE o programa coloca  <0 , > 0 e = 0, de modo automático,  na frente de cada  produto.
6) O aluno deverá inserir na frente da palavra QUERO  a desigualdade desejada. (<= 0, < 0 , > = 0 , > 0 e = 0 ), e a seguir nas  células  abaixo pintar  de verde,  com a ferramenta balde
7)  para dirimir possíveis dúvidas, há o gráfico ao lado, para ser trabalhado  com  o professor, juntamente com o aluno.
8)  por último, o aluno deverá dar a resposta, preenchendo as células amarelas no final.
Ao     trabalhar    este aplicativo, o professor      poderá levar o aluno       a   entender o preenchimento do quadro resumo, utilizado para a resposta, fazendo  uso da tabela montada pelo programa
.

A seguir vai-se resolver 3 exemplos 

Exemplo 1       x * (x – 3)  >= 0

Exemplo 2       x * (x – 3) * (x + 5) < 0

Exemplo 3       x * (x – 3) * (x + 5) * (x + 2)  >  0

Inequação produto exemplo 1 x (x - 3) >=0

Resolver a inequação   x (x - 3) > = 0  

Raízes de  y1 = x e  y2 = x - 3

a) y1 = x  logo  x = 0                       b) y2 = x - 3  logo  x = 3

y1 é crescente                                   y2 é  crescente 

Logo y1 * y2 >= 0 para  x <=0   e     x >= 3

No excel tem-se que

1)  Selecione  o intervalo B1:D20 com o mouse

2)  Aperte CTRL e com o mouse selecione agora  B24:D11 .

3) Clicar em inserir gráfico / DISPERSão / RETA PTO MARCADO

4) Clicar em OK para obter o gráfico acima.

5)  Veja para x= 1 e x=2 f(x).g(x) <0 e não teve nenhum ponto

marcado neste intervalo .

Caso deseje obter a planilha no Excel  clique no link abaixo


https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AkXpGe_InwGVdFRSWXpYSVFDbl8yRVVFZm5CZHJXWmc&usp=drive_web#gid=3

ex2 resolver a inequação x * (x - 3 * ( x + 5 ) < 0

Este exemplo mostra uma inequação produto  do tipo f(x) * g(x)  < 0.

Exemplo2:  x * (x - 3) * (x + 5) < 0

1)  RAÍZES E DADOS INICIAIS

2) Construindo a tabela no Excel

3) Construindo o gráfico

Após construir a tabela  monto uma tabela auxiliar para a construção do gráfico da inequação.

Procedimento

1)  Selecione o intervalo  B13:E18 com o mouse e cole na tabela auxiliar em K10:N13.

2) Selecione o intervalo  B23:E24  com o mouse e cole na tabela auxiliar em K14:N15

3) Veja que no gráfico só aparecem os pontos para  x < -6   1 =<  x  =<  2. que corresponde à região destacada em verde.

4)  Os demais não aparecem por não fazerem parte da resposta. isto justifica a elaboração de uma tabela auxiliar, a fim de não mostrar marcados este pontos 

RESPOSTA

exemplo 3 resolver a inequação x * (x - 3 * ( x + 5 ) * (x + 2) > 0

Este exemplo mostra uma inequação produto  do tipo     y = f(x) * g(x)*h(x) * I(X) > 0

1) Dados iniciais

2) Construção da tabela

3) Construção da tabela auxiliar

Esta tabela irá permitir plotar apenas os pontos da resposta da inequação produto.

Construção da tabela auxiliar

Ela foi elaborada no intervalo K10 : O16 da planilha  do seguinte modo:

1)      Selecione  o intervalo B15 : F09    com o mouse e cole na tabela auxiliar   acima    em  K10 : O12

2)  Selecione  o intervalo B22 : E22  com o mouse e cole na tabela auxiliar em K13 : O12

3)  Selecione  o intervalo B27 : F29   com o mouse e cole   na tabela auxiliar   acima   em    K14 :  O16

4)   Veja que no gráfico só aparecem ptos para x < -5  , x = 1 e       e    x > 3

5)   Veja que no gráfico só aparecem pontos para x < -6  ,  X = - 1        e  x > 3

6)  As raízes x = -5, x = -2, x = 0 e  x = 3  são pontos de transição  de positivo oara negativo da inequações produto. (vide tabela acima).

4) Construção do gráfico

A partir da tabela auxiliar tem-se  

5) RESPOSTA 

produtos notáveis

Os produtos notáveis podem ser resolvidos de forma analítica usando o algoritmo  ou de forma geometrica.


1)    (a + b ) * (a + b ) =  ( a  +  b )^2

Montando uma P;G. usando o conceito de dobro, triplo, etc

A Progrssão Geométrica é muito importante no Ensino Médio, bem como nas aplicações matemáticas, porém o seu entendimento pelos alunos é muito complexo, uma vez que os mesmos se perdem nas fórmulas e não chegam a um resultado desejado. Será que existe um modo mais simples de se mostrar o conceito desta sequência numérica.

Um modo pensado foi de se trabalhar com o conceito de dobro, triplo, quadruplo, etc, uma vez que a sequência, a1 , a2, a3, a4, ..., an, possui razão definida por q = a2 / a1 = a3 / a2 / a4 / a3 = ... = constante.

Assim a2 = a1*q, a3 = a2 * q, ... .

O exemplo abaixo mostra uma P.G. de 4 elementos para razão q = 2 e q = 3.

Nesta atividade o aluno digita a razão q e os valores de a1, a2, a3 e a4, sendo que o programa retorna se os valores estão certo ou errado.
Logo é um modo simpoles de se repassar o conceito de formação de P.G, a partir das definições de dobro, triplo e outros que podem ser utilizados.