Estudo da função do 2 grau p 2

NOÇÕES DE CÁLCULO IMPORTANTES

Já foi visto no Ensino Médio, que o gráfico da  função  y = a x^2  +  bx  +  c,  é sempre contínuo, num certo intervalo [a , b] considerado. Sendo assim, pode-se usar regras de derivação  do Cálculo para se escrever:

1ª derivada:     y’  = f’(x) = 2*a*x ^(2-1)  +  b  =  2 a x   +   b 

2ª derivada:    y”  =  f” (x) =  2 a

Exemplo:     Carro realizando M.R.U.V. definido por  s = 20 + 5 t  +  3 t^2

1ª derivada:       y´= 5 + 6 t     ou seja       v = vo  +  at  =   5 + 6t (S.I.)

2ª derivada        y” = 6,           ou seja        a = cte  =  6  (S.I.)

ONDE A FUNÇÃO QUADRÁTICA É CRESCENTE OU DECRESCENTE?

Seja a função   y = 1 x^2  - 1x   -   2,   onde      V = ( xv  ,  yv ) =  ( 0,5 , -2,25 )

I)       No intervalo  [xv=0,5  ,  +  infinito [       tem-se que

x1 = 3   e   f(x1) = 4    e    x2 = 4   e   f(x2) = 10    è  x1  <  x2  logo  f(x1)  <  f(x2)

portanto f(x) é crescente no intervalo

II)     No intervalo  ] -  infinito , xv=0,5 ]      tem-se que

x3 = - 2 e f(x3) = 4  e  x4= -3 e f(x4) =  10            è  x3  >  x4  logo  f(x3)  <  f (x4)

portanto f(x) é decrescente no intervalo.

Clique no link abaixo para ver no geogebra do google drive a figura acima 

http://web.geogebra.org/chromeapp/?state=%7B%22ids%22:%5B%220B0XpGe_InwGVb3phcTVZTUk3VHM%22%5D,%22action%22:%22open%22,%22userId%22:%22115885207884713029709%22%7D&code=4/lumwO7Y5K_gRA5lpMkDLRk81OieO.4l8ZV6AhpBIbsjMf6whcw_5rl5DIjgI

USANDO A DERIVADA

A derivada num  ponto P(x0 , yo) da curva é o coeficiente angular da reta tg à curva no ponto P. logo existem os intervalos  ] – ∞ , xv ] e [xv  , +  ∞ [ tais que:

a)     Em qualquer intervalo [ a  ,  b ] do intervalo  ] – ∞ , xv ],  a derivada em cada ponto  é o coeficiente angular da reta  ( numericamente igual à tg α )

b)     Em qualquer intervalo [ c  ,  d ] do intervalo  ] xv  ,  + ∞ ],  a derivada em cada ponto  é o coeficiente angular da reta  ( numericamente igual à tg α )

Exemplo:

A parábola  y = x^2  -  x  - 2  apresenta dois intervalos ] – inf , xv = 0,5 ]  e  [xv=0,5 , + inf [

I)        Em ] – inf  ,  0,5 ] a reta tg é decrescente logo seu coef angular m < 0 é numericamente igual tg (α1) < 0, portanto  derivada f’(x)  no ponto  < 0

II)     Em ] 0,5 , + inf  ] a reta tg é crescente logo seu coef angular m > 0 é numericamente igual tg (α2) >  0, portanto  derivada  f’(x)  >  0

iii) No vértice  m = 0 = tg (0) , logo derivada f’(x) = 0

Exemplo:

Seja um carro realizando M.R.U.V. com s = 10  -  5t  + 1 t^2 (S.I.)

Sua  derivada primeira é: 
v = f’(t)  =  - 5   +  2*1  t 

Sua derivada segunda é  a =  f” (t)   =  2

No vértice da parábola tm-se  v = f’ (t ) = 0 logo  0 =  -5  +  2t e t = 2,5 s

Portanto tem-se dois intervalos

   I)      ] –inf , 2,5 ]    e como    t  = tempo  >= 0  fica  [ 0  ,  2,5 ]

   a)    Seja t = 1 logo  f’ ( t=1 )  = v( t = 1 )  =  -5  +  2*1  =  -3  < 0

   b)    m1 = coef ang  da reta tg por P1  < 0 

   c)     De a e b tem-se que   f(x) é decrescente

II )    [2,5 , + inf  [

    a)    Seja t = 4 logo  f’ ( t=4 )  = v( t = 4 )  =  -5  +  2*4 =  3  >  0       

    b)    m1 = coef ang  da reta tg por P   >  0  

    c)     De a e b tem-se que   f(x) é crescente

PONTOS DE MÁXIMO E DE MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

            Usa-se o critério da derivada PRIMEIRA.

Seja f ( x )  =  a x^2  +  b x  +  c e sua derivada primeira f ‘ ( x ) = a x  +  b

Se f ‘ ( xv ) = 0  deve-se ter:

1º CRITÉRIO     P é Ponto de Máximo  ( parábola convexa)

a)     x  <  xv  è  f ‘ ( x ) > 0 ( reta tg com coef. angular positivo )  

e

b)     x  >  xv  è  f ‘ ( x ) < 0 ( reta tg com coef. angular negativo )       

2º CRITÉRIO     P é Ponto de Minimo  ( parábola côncava)

a)     x  <  xv  è  f ‘ ( x ) < 0 ( reta tg com coef. angular negativo )  

e

b)     x  >  xv  è  f ‘ ( x ) > 0 ( reta tg com coef. angular positivo )      

                            

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE f(x)

Muito importante

1)     Quando existir f ´(x ), f’ (x=xo ) fornece o valor do coeficiente angular da reta tg em P = (xo , f(xo) ) ou seja  f ‘ (xo)  = m = tg α

2)     A equação da reta tg em P é dada por  y – f(xo )  =  f ‘ ( xo ) ( x   -  xo )

PROBLEMAS ENVOLVENDO MÁXIMOS E MÍNIMOS                      

1)     Um corpo lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade de  40 m/s, e função horária Dada por  s(t)  =  40  -  5 t^2 (S.I.) e g = 10 m/s^2,   Para t no intervalo [ 0  ,  8 ], pede-se: a) O tempo gasto para atingir a altura máxima; b) a altitude máxima atingida.

SOLUÇÃO

   1)    FUNÇÕES HORÁRIAS

   a)    Do espaço\\;       s   =  40 t  -  5 t^2 (S. I.), onde  a = -5 , b = 40  e c = 0

   b)    Da velocidade:    v  =  40  -  10 t onde  f ‘ ( t )  =  v

   c)    Da aceleração     am  =  - 10 m / s^2 , onde  f “ ( t ) =  am

   2)    ANÁLISE GRÁFICA

O  vértice é dado por  V = ( xv  ,  yv) , onde  xv  =  - b / 2 a  = - 40 / 2*(-5)  =  4 s
yv = - b^2 – 4ac) / 4 a  =  - (40)^2 / 4* (-5)  =  1600 /  20 = 80

Logo  V = ( 4 , 80)

TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA

1)           Para  x  <   xv  tem-se que  v = f ‘ (x)  >   0

2)           Para  x  =   xv tem-se que  v = f ‘ (x)   =   0

3)           Para  x   >   xv tem-se que  v = f ‘ (x0  <   0

Logo V é ponto de Máximo

Ou tb pelo TESTE DA DERIVADA SEGUNDA

am = f “ (x)  = - 10  <  o logo V é ponto de Máximo

4)           INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA RETA TG POR P

1)           Quando existir  f ‘ (xo)  no ponto P (xo , f(xo)) , f’ (xo)  =  coef angular da reta tg por P = tg α  = m

2)           A equação da reta tg será dada por  y  -  f(xo)  =  f ‘ (xo) (x  -  xo)

No problema pode-se ter  xo1  =  1 

2.1)   f ‘ (1 ) = v (1) =  40  -  10 * 1 = 30

2.2) f  (1) = 40*1  - 5 * 1^2  =  35 è  y  -  35  =  30 ( x   -  1)  e y = 30x  +  5,

Onde m = 30  > 0  e f’ (x)  >  0

No problema pode-se ter  xo2  =  5 

2.3)   f ‘ (5 ) = v (5) =  40  -  10 * 5 = - 10

2.4) f  (5) = 40*5  - 5 * 5^2  =  75 è  y  -  75  =  - 10 ( x   -  5)  e y = - 10x  +  125,

Onde m = - 10  < 0  e f’ (x)   <  0

Portanto no intervalo 1 [0  ,  4 ]  f’ (x)  >  0  e no intervalo 2  f ‘ (x0  < 0 caracterizando V como ponto de máximo.

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2) Numa indústria o gasto para se produzir x produtos é dado por C (x) = 1/4 x^2  +  35 x  +  25, em reais, e o preço de vendas de cada produto , em reais , é pv = 50  -  1/2  x. Pede-se  a) Qual deve ser a produção diária para se obter um lucro máximo na venda de x produtos;  b) Qual o custo unitário de cada produto para ter um lucro máximo.

Solução

Sejam

Pv =  preço de venda unitário = 50 – 0,5 x

C ( x ) = Custo para produzir x produtos  =  1 / 4  x^2  +  35 x  +  25

a.1) Lucro na venda de x produtos

L (x)  =  x * pv  -  C (x)  =  x * ( 50  -  0,5 x)  -  ( 1 / 4 x^2  +  35x  +  25) =

L ( x )  =  - 3 x^2/ 4  +  15 x  -  25

a.2) Teste das derivadas

I ) L ‘ ( x ) =  -  6x / 4  +  15  =   - 3x / 2  +  15

II)  Fazendo-se  L ‘ ( x )  =  0  è  0 = - 3x / 2  +  15 è   x = 10

III)  L” ( x ) =  - 3/2  <  0  è  L ( x ) apresenta ponto de máximo para x = 10

a.3)  Conclusão:  A produção diária para se ter lucro máximo deverá ser xd = 10 unidades.

b) Cálculo do custo unitário mínimo para um lucro máximo

Custo unitário  =  Cu =  C ( x) / x  =   ( 1 / 4  x^2  +  35 x ++ 25) / x =  1 / 4 x  +  35  +  25 / x

b.1) Critérios da derivada

I ) Cu ‘ (x)  =  1 / 4  - 25 / x^2, porque  dervada (25 / x )  = 25 * (- 1 / x^2 )

II)  Cu ‘ (x )  = 0  è  1 / 4  -  25 / x^2 = 0  è  x’ =  10    e  x’’  =  - 10 ( não serve)

iii)  Cu’  (x)  =  1 / 4  -  25* x^{- 2}   è  Cu “ (x)  =  - 25 * (-2) * x ^{-2 - 1} 

Cu “ (x)  =    50 * x^{- 3}    =  50 / x ³  

Iv)  Seja Cu “ ( x’ = 10  )  =  50 / 10^3  =  1 / 20  >  0  è  Cu (x) apresenta ponto de mínimo para x’ = 10   è  Cu (x = 10) =  1*10 / 4    +  35 +  25 / / 10  =  40 reais

,

Estudo da função do 2 grau parte 1

GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 2 GRAU

A função do 2º grau é toda função de R  è R definida por y = a x^2  +  b x  +  c, com a , b e  c  pertencentes aos Reais e a diferente de zero.

No Ensino Médio mostra-se que c é onde a parábola intercepta o eixo vertical Oy e que para a > o a concavidade é voltada para cima e a < 0 é voltada para baixo e, que a função pode admitir uma raiz dupla, duas raízes distintas ou não possuir raízes reais, conforme delta seja positivo, nulo ou menor que zero.. 

Está função tem inúmeras aplicações nos fenômenos físicos. Exemplo

Ø  No movimento uniformemente variado de um corpo

Ø  No lançamento vertical e na queda livre de um corpo

Ø  No lançamento oblíquo

Ø  No tiro de meta no futebol

Ø  No arremesso ao cesto no basquete

Ø   A água que escoa por um orifício lateral em um balde colocado sobre uma mesa.

Ø  Na antena parabólica, etc.

ESTUDO DA VARIAÇÃO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função quadrática  tem muita aplicação prática, o que justifica fazer um estudo mais a fundo da mesma, levando-se em conta:   

Ø  Suas interseções com os eixos cartesianos  

Ø  Seu crescimento e decrescimento  

Ø  Seu máximo ou mínimo  

Ø  Sua forma canônica  

Ø  Suas raízes  

Ø  Seu eixo de simetria

1)  Definição:         É uma função  f : R ==> !R, tal que  f (x) = ax2 + bx + c com a, b e c reais e a ≠ 0.

2)  Domínio, Contradomínio e Imagem  O Domínio é o conjunto dos Reais, obtido no gráfico sobre o eixo horizontal Ox, e, seu contradomínio  os Reais, obtido no gráfico sobre o eixo vertical Oy. 

Sua imagem é obtida  através do cálculo do valor numérico de um número K em f(x) = a x^2  +  bx  +  c e é representada no eixo vertical Oy.

Exemplo K = 1 e f(x) = x^2  +  3x  - 2    è   f(k=1)  = 1^2  +  3*1  -  2  =  2

3)  INTERSECÇÃO COM OS EIXOS

3.1) COM O EIXO VERTICAL Oy

É obtido fazendo-se x = 0  è  f(x) = y  =  a * 0  +  b*0  +  c  =  c

3.2) COM O EIXO VERTICAL Oy

A função f(x) = a x^2  +  bx  +  c , pode apresentar

·      2 intersecções com o eixo horizontal Ox,  ou seja 2 raízes reais

·      1 intersecções com o eixo horizontal Ox, ou seja uma raíz real dupla

·      0 intersecções com o eixo horizontal Ox, ou seja não apresenta raíz real.

4)  Forma canônica de f (x)  =   a x^2  +  bx  +  c

Seja f(x)   =  a x^2  +  bx  +  c., onde a ≠  0.

Tem-se que   y    =     a ( x^2  +  b/a  x  +  c/a )  =  a ( x^2  +  b/a x  +  b^2 / 4a   -  b^2 /4 a    +  c/a)

Somou-se e subtriui-se o termo  b^2 / 4 a para completar o quadrado perfeito  ( x – b/2 a) ^2 

Portanto a forma canônica de f(x) será:

onde  xv  =  -b / 2 a   e   yv  =  - Δ / 4 a  =  - (b^2  -  4 a c ) / 4 a

5)  Raízes Ou  Zeros Da Função

É onde a função intercepta o eixo horizontal Ox

Há dois modos de se calcular as raízes:

a)           Por Baskara            e            b) Soma e produto das raízes

a)           POR BASKARA

x1  =  ( - b  -  raiz( b^2 -  4 ac ) / 4a      e     x2  =  ( - b  +  raiz( b^2 -  4 ac ) / 4a

b)   SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

S  =  x1  +  x2  =  - b /a   logo     b  =  -  a ( x1  +  x2 )

P  =  x1  *  x2  =     c /a   logo     c  =     a ( x1  *  x2 )

Atenção:   Quando se desejar montar um gráfico a partir de suas raízes e do valor de a, este método permite estabelecer os valores de b e c ,  bem como calcular as coordenadas do vértice   V = ( - b / 2 a  ,  - (b^2  -  4 a c ) / 4 a )

Exemplo: Aplicação na Física

Um móvel parte da posição  - 10 m e passa duas vezes pela origem das posições, nos intantes  t1 = 1 s e t2 = 5 s. Pede-se: a) As funções horárias do movimento; b) a posição inicial e a velocidade inicial; c)Gráfico e análise do movimento.

Solução:

1.1  ) As raízes são:        t1 = 1 e t2 = 5,           logo

1.2)  Tempo para valor máximo ou mínimo será:            tv = (t1 + t2) / 2 = 3 s

2) Calculo dos coeficientes a, b e c das funções horárias

Da soma e produto das raízes tem-se que:

2.1)  Soma = S = t1  +  t2  =  - b / a  è  b = - a (t1 + t2)  è  b = - a * 6

2.2)  Produto = t1 * t2 = c / a  è  c =  a * t1*t2, como c = - 10  è  a = -10 / 5 = - 2

2.3) portanto tem-se que  a = - 2, b = -6 a  =  12  e c = - 10

3) Funções horárias do movimento

3.1) Da posição   s = so  + vo t  +  am/2 t^2 /2,  onde

c = so = -10 m,     b = vo  =  12 m/s  e  a = am/2  =  -2 logo  am = - 4 m/s^2

                                                                       s = -10  +  12 t  - 2 t^2  (S. I.)

3.2 Da velocidade     v  =  vo  +  a t  è  v  =  12  - 4 t (S. I.)

3.3) Da aceleração                                     am = - 4 m/s^2

4) Vértice da parábola   V = ( tv  ,  s(tv) )

É onde o móvel muda seu sentido de movimento (v = 0 )

4.1)  v = 0  è  0  =  12  - 4 t   è  tv = 3 s

4.2) s(3)  =  -10  + 12 * 3  - 2 *3~2  =  8 m

Logo                                                              V = ( tv=3  , s(3) = 8 )

6)     Surge então a pergunta Será V ponto de máximo ou de mínimo. ?

Temos 2 métodos

6.1) Pelo valor de a

Se a > 0 è concavidade voltada para cima  è ponto de mínimo

Se a < 0 è concavidade voltada para baixo è ponto de máximo

Neste caso a = -2 < 0                  è                        V é ponto de Máximo

6.2) Usando a regra da derivada primeira

6.2.1) Em [0 , 3 ]  tem-se f ’ ( t ) =  v  =  12  - 4 t

Seja t = 1 s neste intervalo è  v(1) =  12  -  4*1 =  8  > 0

6.2.2) Em [3 , 5 ]  tem-se f ’ ( t ) =  v  =  12  - 4 t

Seja t = 4 s  neste intervalo è  v(4) =  12  -  4*4 =  - 4  <  0

Logo   f ‘ (t) passa de positiva para negativa  è  V é ponto de Máximo

7)     Significado na Física

7.1) Em [0 , 3 ]  f ‘ (t) = v  > 0   è móvel anda no sentido (+) da trajetória

7.2)  v = 0 è móvel imprime v = 0 para  mudar o sentido do movimento

7.3) ) Em [3 , 5]  f ‘ (t) = v  <  0   è móvel anda no sentido decrescente  da trajetória

8)  Tipo de movimento :  Usando-se  I v I

8.1) Em [ 0 , 3 ]  I v I  decresce com o tempo até zero  è Movimento é Retardado

8.2) Em tv = 3    I v I  =  0                                                  è Repouso

8.3) Em  [ 3 , 5]  I v I  cresce com o tempo                     è Movimento é Acelerado

Clique no link absaixo para ver no Geogebra o problema acima.

http://web.geogebra.org/chromeapp/?state=%7B%22ids%22:%5B%220B0XpGe_InwGVREVsSUNsMUtBa3c%22%5D,%22action%22:%22open%22,%22userId%22:%22115885207884713029709%22%7D&code=4/DqOg-riBVKP5DB46u_Fdj46Jl_x9.MrEwPBnJs78bsjMf6whcw_431XLIjgI