GRÁFICOS
DA FUNÇÃO DO 2 GRAU
A função do 2º grau é toda função de R è R
definida por y = a x^2 + b x
+ c, com a , b e c pertencentes
aos Reais e a diferente de zero.
No Ensino Médio mostra-se que c é onde a
parábola intercepta o eixo vertical Oy e que para a > o a concavidade é
voltada para cima e a < 0 é voltada para baixo e, que a função pode admitir
uma raiz dupla, duas raízes distintas ou não possuir raízes reais, conforme
delta seja positivo, nulo ou menor que zero..
Está função tem inúmeras aplicações nos fenômenos
físicos. Exemplo
Ø No
movimento uniformemente variado de um corpo
Ø No
lançamento vertical e na queda livre de um corpo
Ø No
lançamento oblíquo
Ø No
tiro de meta no futebol
Ø No
arremesso ao cesto no basquete
Ø A água que escoa por um orifício lateral em um
balde colocado sobre uma mesa.
Ø Na
antena parabólica, etc.
ESTUDO DA VARIAÇÃO DA FUNÇÃO
QUADRÁTICA
A
função quadrática tem muita aplicação
prática, o que justifica fazer um estudo mais a fundo da mesma, levando-se em
conta:
Ø Suas
interseções com os eixos cartesianos
Ø Seu
crescimento e decrescimento
Ø Seu
máximo ou mínimo
Ø Sua
forma canônica
Ø Suas
raízes
Ø Seu
eixo de simetria
1) Definição: É
uma função f : R ==> !R, tal que f (x) = ax2 + bx + c com a, b e c reais e a ≠ 0.
2) Domínio,
Contradomínio e Imagem O Domínio é o conjunto dos Reais, obtido no gráfico sobre o
eixo horizontal Ox, e, seu contradomínio os Reais, obtido no gráfico sobre o eixo vertical Oy.
Sua imagem é obtida através do cálculo do valor numérico de
um número K em f(x) = a x^2 + bx
+ c e é representada no eixo vertical Oy.
Exemplo K = 1 e f(x) = x^2 +
3x - 2 è f(k=1)
= 1^2 + 3*1
- 2 = 2
3) INTERSECÇÃO
COM OS EIXOS
3.1) COM O
EIXO VERTICAL Oy
É obtido fazendo-se x = 0 è f(x) = y
= a * 0 +
b*0 + c = c
3.2) COM O
EIXO VERTICAL Oy
A função f(x) = a x^2 +
bx + c , pode apresentar
· 2 intersecções com o eixo horizontal Ox, ou seja 2 raízes reais
· 1 intersecções com o eixo horizontal Ox, ou seja
uma raíz real dupla
· 0 intersecções com o eixo horizontal Ox, ou seja
não apresenta raíz real.
4) Forma canônica de f (x) = a
x^2 +
bx + c
Seja
f(x) =
a x^2 + bx
+ c., onde a ≠ 0.
Tem-se que y
= a ( x^2 + b/a x + c/a ) = a ( x^2 + b/a x + b^2 / 4a - b^2 /4 a + c/a)
Somou-se e subtriui-se o termo b^2 / 4 a para completar o quadrado
perfeito ( x – b/2 a) ^2
Portanto a forma canônica de f(x) será:
onde xv = -b /
2 a e
yv = - Δ / 4 a
= - (b^2 - 4 a
c ) / 4 a
5) Raízes
Ou Zeros Da Função
É onde a função intercepta o eixo horizontal Ox
Há dois modos de se calcular as raízes:
a)
Por Baskara e b)
Soma e produto das raízes
a)
POR BASKARA
x1 = ( - b - raiz( b^2 - 4 ac ) / 4a e x2 = ( - b + raiz( b^2 - 4 ac ) / 4a
b)
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
S = x1 + x2 = - b /a logo b = - a ( x1 + x2 )
P = x1 * x2 = c /a logo c = a ( x1 * x2 )
Atenção: Quando se desejar montar um gráfico a
partir de suas raízes e do valor de a, este método permite estabelecer os valores
de b e c , bem como calcular as
coordenadas do vértice V = ( - b / 2 a , -
(b^2 -
4 a c ) / 4 a )
Exemplo: Aplicação
na Física
Um móvel parte da posição - 10 m e passa duas vezes pela origem das
posições, nos intantes t1 = 1 s e t2 = 5
s. Pede-se: a) As funções horárias do movimento; b) a posição inicial e a
velocidade inicial; c)Gráfico e análise do movimento.
Solução:
1.1
) As
raízes são: t1 = 1 e t2 = 5, logo
1.2)
Tempo para
valor máximo ou mínimo será: tv = (t1 +
t2) / 2 = 3 s
2) Calculo
dos coeficientes a, b e c das funções horárias
Da soma e produto das raízes tem-se que:
2.1) Soma = S =
t1 +
t2 = - b / a
è b = - a (t1
+ t2)
è b = - a * 6
2.2) Produto
= t1 * t2 = c / a è c
= a * t1*t2, como c = - 10 è a = -10 / 5
= - 2
2.3) portanto
tem-se que a = - 2, b = -6 a =
12 e c = - 10
3) Funções
horárias do movimento
3.1) Da
posição s = so + vo t
+ am/2 t^2 /2, onde
c = so = -10 m,
b = vo = 12 m/s
e a = am/2 = -2
logo am = - 4 m/s^2
s = -10 + 12
t - 2 t^2 (S. I.)
3.2 Da
velocidade v =
vo + a t è v =
12 - 4 t (S. I.)
3.3) Da
aceleração am = - 4 m/s^2
4) Vértice da
parábola V = ( tv ,
s(tv) )
É onde o móvel muda seu sentido de movimento (v = 0
)
4.1) v
= 0 è 0
= 12 - 4 t è tv = 3 s
4.2) s(3)
= -10 + 12 * 3
- 2 *3~2 = 8 m
Logo V = ( tv=3
, s(3) = 8 )
6)
Surge então a pergunta Será V ponto de máximo ou de
mínimo. ?
Temos 2 métodos
6.1) Pelo valor
de a
Se a > 0 è concavidade voltada para cima è ponto de
mínimo
Se a < 0 è concavidade voltada para baixo è ponto de máximo
Neste caso a
= -2 < 0 è V é ponto de Máximo
6.2) Usando a
regra da derivada primeira
6.2.1) Em [0
, 3 ] tem-se f ’ ( t ) = v
= 12 - 4 t
Seja t = 1 s neste intervalo è v(1) =
12 - 4*1 =
8 > 0
6.2.2) Em [3
, 5 ] tem-se f ’ ( t ) = v
= 12 - 4 t
Seja t = 4 s
neste intervalo è v(4) = 12
- 4*4 = - 4 <
0
Logo f ‘ (t) passa de positiva para negativa è V é ponto de Máximo
7)
Significado na Física
7.1) Em [0 ,
3 ] f ‘ (t) = v > 0
è móvel anda
no sentido (+) da trajetória
7.2) v = 0 è móvel imprime
v = 0 para mudar o sentido do movimento
7.3) ) Em [3
, 5] f ‘ (t) = v <
0 è móvel anda no sentido decrescente da trajetória
8) Tipo de movimento : Usando-se I v I
8.1) Em [ 0 ,
3 ] I v I decresce com o tempo até zero è Movimento é
Retardado
8.2) Em tv =
3 I v I =
0
è Repouso
8.3) Em [ 3 , 5]
I v I cresce com o tempo è Movimento é Acelerado
Clique no link absaixo para ver no Geogebra o problema acima.
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